Pengertian pecahan
Definisi 1 : Pecahan adalah suatu lambang yang terdiri dari suatu pasangan berurutan a dan b (b ≠ 0) yang merupakan penyelesaian persamaan b x = a, ditulis dengan a/b , a/b atau a : b
Contoh : 6 : 5 dapat ditulis sebagai 6/5
2 : 5 dapat ditulis sebagai 2/5
1 : 3 dapat ditulis sebagai 1/3
Definisi pecahan a/b dinyatakan untuk sembarang bilangan bulat a dan b dengan b (b ≠ 0). Perhatikan 8 : 2. Menurut definisi 1, 8 : 2 dapat ditulis sebagai 8 / 2, tetapi kita tahu bahwa 8 : 2 = 4.
Dengan jalan yang sama, 4 = -16 : -4 yang mana dapat ditulis sebagai -16 / -4. Menggunakan sifat transitif kesamaan, 8 / 2 dan -16 / -4 menyatakan bilangan yang sama. Hal membawa pertanyaan “ apa hubungan dua pecahan yang menyatakan bilangan yang sama ?
Hal ini dijawab dengan definisi berikut:
Definisi 2 : Pecahan-pecahan a/b dan c/d adalah ekuivalen atau menyatakan bilangan yang sama (ditunjukkan dengan a/b ~ c/d) jika dan hanya jika ad = bc.
Contoh : 2/5 ~ 4/10 sebab 2 x 10 = 5 x 4 = 20
Perlu dicatat bahwa relasi ekuivalen disini memiliki sifat-sifat relasi refleksif, simetris, dan transitif
Dalil 1 : Relasi ~ pada himpunan pecahan adalah relasi ekuivalensi
Bukti
harus dibuktikan a/b ~ a/b . (refleksif)
Berdasarkan definisi 2, a/b ~ a/b jika dan hanya jika ab = ba. Karena a dan b bilangan-bilangan bulat, maka berlaku sifat komutatip perkalian ab = ba. Jadi refleksif.
harus dibuktikan jika a/b ~ c/d , maka c/d ~ a/b , (simetris).
a/b ~ c/d (diketahui)
ad = bc (definisi 2)
bc = ad (sifat simetris kesamaan bilangan bulat)
cb = da (sifat komutatip perkalian bilangan bulat)
c/d ~ a/b (definisi 2)
Jadi ~ bersifat simetris.
harus dibuktikan jika a/b ~ c/d dan c/d ~ e/f maka a/b ~ e/f (transitif)
a/b ~ c/d (diketahui)
c/d ~ e/f (diketahui)
ad =bc, cf = de (definisi 2)
(ad)f = (bc)f (dalil 4 bilangan bulat)
(af)d = b(cf) (sifat komutatip dan asosiatip perkalian bilangan bulat)
((af) d)/d = be (definisi 8, d ≠ 0)
( (af) d)/d = af (definisi 8, (af) d = (af))
af = be (sifat transitif kesamaan)
a/b ~ e/f (definisi 2)
Jadi ~ bersifat transitif.
Karena ~ bersifat refleksif, simetris dan transitif (dari 1,2 dan 3) maka ~ merupakan ekuivalensi.
Dalil 1 diatas menyatakan bahwa himpunan semua pecahan dapat dipisahkan menjasi klas-klas ekivalen. Contoh klas-klas ekuivalen dari 1/2 adalah:
[…..(-4)/(-8) , (-3)/(-6) , (-2)/(-4) , (-1)/(-2) , 1/2 ,2/4 ,3/6 ,4/8 , ….. ]
Sekarang nama-nama bilangan pada masing-masing klas pecahan diatas dinyatakan dengan definisi berikut :
Pengertian bilangan rasional
Definisi 3 : bilangan rasional adalah bilangan yang dinyatakan oleh pecahan-pecahan dalam klas-klas ekuivalen pecahan.
Jadi, bila kita membicarakan operasi pada bilangan rasional, kita simbolkan bilangan rasional dengan pecahan, misalnyan saja, a/b , dalam klasnya. Pecahan 2/5 menunjukkan bilangan rasional yang dihubungkan dengan klas ekuivalen dari pecahan 2/5. Dalam alasan inilah kita akan gunakan pernyataan ‘bilangan rasional2/5’.
Oleh karenanya bilangan rasional adalah konsep abstrak matematika seperti halnya bilangan asli, bilangan cacah, dan bilangan bulat, maka lambang bilangan yang digunakan untuk menyatakan bilangan rasional adalah sembarang pecahan dari klas ekuivalennya.
Perlu diingat bahwa pecahan a/b adalah lambang bilangan yang menyatakan penyelesaian persamaan bx = a, sehingga menurut definisi 3, bilangan rasional a/b adalah penyelesaian persamaan bx = a.
Kita simpulkan pembicaraan kita pada bab ini dngan pengembangan kesamaan dua bilangan rasional.
Definisi 4 : Dua bilangan rasional adalah sama jika keduanyan dinyatakan dengan pecahan-pecahan dari klas ekuivalen yang sama. Jadi jika a/b menyatakan bilangan rasional r dan c/d menyatakan bilangan rasional s, maka r = s jika hanya jika a/b ~ c/d.
Sifat-sifat bilangan rasional
Kita sudah mendefinisikan bilangan rasional dengan suatu cara yang dapat dinyatakan dengan sebarang klas ekuivalen dari pecahan. Sekarang kita akan bicarakan hubungan antara anggota-anggota klas ekuivalen yang menyatakan bilangan rasional. Secara khusus, kita akan tunjukkan bahwa jika a/b adalah sebarang pecahan, maka ac/bc (c ≠0) adalah ekuivalen dengan a/b .
Contoh :
Bilangan-bilangan rasional 1/2 dan (-4)/(-8) adalah sama sebab 1(-8) = 2(-4) sehingga 1/2 ~ (-4)/(-8)
Dari pecahan 1/2 dan 1.8/2.8
Karena 1.(2.8) = 2.(1.8), 1/2 ~ 1.8/2.8
Hal ini merupakan petunjuk bahwa :
1/2~ 1x/2x , x ≠0
Sebab 1.(2x) = 2.(x)
Secara umum a/b ~ ac/bc , c ≠0, sebab a (bc) = b (ac) Hasil ini dinyatakan menurut sifat pecahan berikut :
Dalil 2 : Dalil dasar pecahan
Jika a, b dan c adalah bilangan-bilangan dengan b ≠ 0 dab c≠0 maka a/b ~ ac/bc .
Bukti : Bukti dalil ini menggunakan definisi 2, tentang pernyataan dua pecahan ekuivalen.
Dalil ini benar bila a (bc) = b (ac).
Karena a, b dan c bilangan-bilangan bulat, berlaku sifat-sifat komotatip dan asosiatip perkalian, sehingga a (bc) = b (ac) = abc.
Contoh :
2/3 ~ 2.4/3.4 = 8/12, dimana 2 (12) = 3 (8)
8/12 dapat ditulis menjadi 2.4/3.4 dimana 8 = 2.4 dan 12 = 3.4
Jika a/b adalah pecahan didalam suatu klas ekuivalen, maka (ac)/(bc). c ≠ o, berada dalam klas yang sama. Akibatnya kita dapat mengatakan bahwa bilangan rasional yang dinyatakan dengan a/b dan ac/bc adalah sama sebab pecahan-pecahan a/b dan (ac) / (bc) adalah ekuivalen.
Dalil 3 : bilangan-bilangan rasional yang dinyatakan dengan a/b dan ac/bc dengan c ≠ 0 adalah sama.
Dalam pembicaraan terdahulu, jika pembilang dan penyebut suatu pecahan masing-masing dikalikan dengan bilangan bulat yang tidak nol, maka pecahan yang diperoleh adalah sama dengan bilangan rasional dari pecahan semula ataupun sebaliknya (dibagi dengan bilangan bulat yang sama).hal ini disebut sebagai menyederhanakan pecahan atau meredusir pecahan. Bentuk yang paling sederhana dari pecahan diperoleh bila bilangan bulat positif yang membagi pembilang dan penyebutnya hanya bilangan 1 tidak ada yang lain, sehingga 2/3,5/7,4/(9 ), adalah bentuk-bentuk sederhana, tetapi sedangkan 10/14 adalah bukan bentuk sederhana, tetapi dapat disedarhanakan menjadi 5/7 berdasarkan dalil 3
Definisi 5 : Jika suatu bilangan rasional dinyatakan dengan pecahan a/b , b > 0 dan pembagi persekutuan terbesar dari pembilang dan penyebut adalah 1, maka bilangan rasional itu dinyatakan dalam pecahan sederhana atau suatu pecahan dalam bentuk sedarhana.
Contoh : 3/4 adalah pecahan dalam bentuk sederhana karena antara pembilang dan penyebutnya tidak bisa dibagi dengan bilangan lain kecuali dengan bilangan 1.
Dalam bab ini, sudah dikembangkan himpunan bilangan bulat menjadi himpunan bilangan rasional. Hal ini adalah menjadi tujuan kita untuk memperluas himpunan bilangan bulat sehingga himpunan bilangan bulat adalah subset dari himpunan bilangan rasional.
Berdasarkan dalil 5 diatas kita dapat menghubungkan bilangan bulat dengan subset bilangan rasional yang dapat kita liat pada garis bilangan berikut :
___.___.___.___.___.___.___.___
-1/1 0/1 1/1 2/1 3/1 4/1 5/1
A t a u
-1 0 1 2 3 4 5
Dalil berikut ini memberikan kejelasan tentang korespodensi 1 – 1 tersebut, sehingga dua bilangan bulat adalah sama bila bilangan rasionalnya adalah sama.
Dalil 4 : Bilangan rasional m/1 dan n/1 adalah sama jika dan hanya jika m dan n adalah bilangan bulat yang sama.
Bukti : jika m/1 dan n/1 maka menurut definisi 2 dan definisi 4 m.1 = n.1 atau m=n, sebaliknya bila m = n maka m.1 =n.1 (menurut dalil 4). Jadi berdasarkan definisi 2 dan definisi 4, m/1 = n/1 .
Contoh : sering kitagunakan symbol 4 untuk bilangan rasional 4/1 atau symbol -3 untuk bilangan rasional -12/4 atau -3/1 .
Kita katakan bahwa bilangan bulat ‘ dikandung sebagai subset dari ‘ himpunan bilangan rasional, akibatnya definisi-definisi yang kita formulasikan tentang operasi pada bilangan bulat harus konsistensi dengan definisi operasi pada himpunan bilangan bulat.
Penjumlahan Bilangan rasional
Definisi 6 : Jika a/b dan c/d adalah sembarang dua bilangan rasional, maka (a/b) + (c/d) = ( (ad +bc)/bd )
Contoh : a ) 2/3 + 3/7 = (2 (7)+ 3 (3))/(3(7)) = (14+9)/21 = 23/21
b ) 5/7 + -1/2 = (5 (2)+ 7 )(-1))/(7 . 2) =(10+(-7))/14 = 3/14
Dalil 5 : jika a/b ,c/d ,e/f dan g/h adalah bilangan –bilangan rasional, maka :
Tertutup, untuk operasi penjumlahan
adalah bilangan rasional
Komutatif, untuk operasi penjumlahan
Asosiatif, untuk operasi penjumlahan
Penjumlahan mempunyai unsure identitas,
Ada bilangan rasional 0/1 yang tunggal sehinga sebarang a/b,a/b+0/1=0/1+a/b=a/b
Perlu dicatat bahwa :
a/b+0/d= (ad+b.0)/bd= ad/bd=a/b
Terdapat invers penjumlahan
Untuk setiap bilangan rasional a/b , didefinisikan – (a/b) adalah invers penjumlahan sehingga a/b+-a/b = 0/1 , dimana 0/1 adalah unsure identitas penjumlahan.
Berdasarkan definisi 6 :
a/b+(-a)/b= ((ab)+ (b.-a))/b^2 =(ab-ab)/b^2 =0/b^2 =0/1
Jadi (-a)/b adalah juga invers penjulahan dari a/b
Dalil 6 : invers penjumlahan dari suatu bilangan rasional adalah tunggal. Invers penjumlahan dari bilangan rasional a/b dapat ditulis sebagai
– (a/b),(-a)/b atau a/(-b) .
Dalil 7 : penjumlahan bilangan rasional adalah tunggal
Bukti : misalnya r1 adalah bilangan rasional yang dinyatakan dengan a/b dan r2 adalah bilangan rasional yang dinyatakan dengan e/f dan g/h; r1 + r2 dapat dinyatakan sebagai a/b+e/f = dan juga sebagai c/d+g/h .
r1 + r2 = a/b+e/f=(af+be)/bf
r1 + r2 = c/d+g/h=(ch+dg)/dh
menurut definisi 4 ,
(af+be)/bf=(ch+dg)/dh jika dan hanya jika (af + be) . dh = bf . (ch + dg).
Ini berarti kita akan membuktikan bahwa :
(af + be) . dh = bf . (ch + dg)
Menurut definisi 2 ,
Bila a/b ~ c/d dan e/f ~ g/h maka ad = bc dan eh = fg sehingga fh (ad) = fh (bc) dan bd (eh) = bd (fg).
fh . ad + bd . eh = fh . bc + bd . fg
dh (af + be) = bf (ch + dg)
(af+be)/bf= (ch+dg)/dh
Jadi r1 + r2 adalah tunggal.
Dalil 8 : untuk bilangan –bilangan rasional a/c dan b/c (c≠0),(a/c)+(b/c)=((a + b))/c
Bukti : menurut definisi 6
a/c+ b/c=(ac+bc)/(c . c)
Dengan menggunakan sifat komutatip dan distributip pada bilangan bulat :
a/c+b/c= (ac+bc)/(c .c)=((a+b)c )/(c.c)
Menurut dalil 3 :
a/c+ b/c= (a+b)/c ,
sehingga dalil 8 adalah benar.
Contoh : 2/3+ 5/3=7/3 dan 3/7+ 6/7=9/7
Sekarang bila penyebut pecahan tidak sama, hokum dasar pecahan dapat dipakai untuk membuat penyebut pecahan sama. Cara yang paling sederhana adalah mencari kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan penyebutnya.
Contoh : 1/3+2/5=(1.5 )/3.5+2.3/5.3=5/15+ 6/15=11/15
5/7+ 3/5=5.5/7.5+ 3.7/5.7=25/35+ 21/35= 46/35
Seringkali penjumlahan pecahan dilambangkankan dengan lambang bilangan lain yang disebut pecahan campuran. Yang mana terdiri atas suatu bilangan bulat suatu pecahan.
Contoh : 4 3/5 = 4/1+ 3/5 = 20/5+ 3/5= 23/5 .
Perkalian Bilangan Rasional
Definisi 7 : Jika a/b dan c/d adalah bilangan-bilangan rasional, maka (a/b).(c/d)= ac/bd
Contoh : a) 2/3 . 4/6=8/18=4/9
b) (-2)/3 . 5/7=(-10)/21
dalil 9 : perkalian bilangan rasional adalah tunggal.
Bukti : misalkan r1 adalah bilangan rasional yang dinyatakan dengan a/b dan c/d dan r2 adalah bilangan rasional yang dinyatakan dengan e/f dan g/h. . Kita asumsikan r1- r2 sebagai ( a/b ) . ( e/f ) dan juga sebagai ( c/d ) . ( g/h ), apakah dari keduanya di peroleh hasil yang sama ?
( a/b ) . ( (e )/f ) = ae/bf ; ( c/d ) . ( g/h ) = cg/dh ; Karena a/b ~c/d dan e/f~g/h , ad = bc dan eh = fg.
Karena ad,bc, eh dan fg abalah bilangan-bilangan bulat ,(ad) (eh) = (bc) (fg).Hal ini dapat disusun sebagai (ae) (dh) =(bf) (cg).berdasarkan sifat-sifat komutatif bilangan bulat .Oleh karena itu ae/bf ~ cg/dh sehingga kedua pecahan menyatakan jawab dari bilagan rasional yang sama.
Dalil 10 : Jika a/b ,c/d dan e/f adalah sembarang bilangan rasional ,maka:
a ). Operasi perkalian bersifat tertutup; ( a/b ) . ( c/d ) adalah bilangan rasional .
b ). Operasi perkalian bersifat komutatip
a/b . c/d = c/d . a/b
c ). Operasi perkalian bersifat assosiatip
( a/b . c/d ) .e/f = a/b . ( c/d .e/f )
d ). operasi perkalian bersifat distibutip terhadap operasi penjumlahan
a/b∙( c/d ∙e/f )= a/b ∙ c/d + a/b ∙ e/f
e ). Operasi perkalian mempunyai unsur identitas 1/1 adalah unsur identitas penjumlahan.
f ). Perkalian dengan nol
a/b . 0/1 = 0/1
g). Invers perkalian
Invers perkalian dari x/y adalah y/x , x ≠ 0 dan y ≠ 0
Contoh :
2/3 ∙ 4/5 = (2∙4)/(3∙5) = 8/15 → 4/5 ∙ 2/3 = 8/15 ↔2/3 ∙ 4/5 = 4/5 ∙ 2/3 ( sifat komutatip )
2/3 (1/4 ∙ 1/2) = 2/3∙ 1/8 = 2/24 →( 2/3∙ 1/4 )∙1/2 = 2/12 ∙ 1/2 = 2/24 ↔ 2/3 ( 1/4 ∙(1 )/2 )=(2/3∙1/4) 1/2 (sifat assosiatip)
2/3 (1/4+1/6 )=2/3 ( 10/24 )= 20/72 → 2/3 ∙ 1/4 + 2/3 ∙ 1/6 = 2/12 + 2/8 = 60/216
karena ~ 20/72= 60/216 ∙2/3 ( 1/4 + 1/6 )=2/3∙ 1/4+2/3∙1/6 ( sofat distributip )
Unsur identintas perkalian .
2/( 3)∙1/1 = 2/3 atau 2/3∙ 5/5= 10/15 = 2/3
Invers perkalian .
Invers perkalian dari 2/3 adalah 3/2 sebab ( 2/3 ) (3/2 )=( 6/6 )= 1/1
Dalil 11 : a/b .c/d dan e/f adalah bilangan rasional
Jika a/b= c/d ,maka a/b . e/f=c/d . e/f
Sifat konselasi perkalian
Jika a/(b ) . c/d=a/b .c/d dengan a/b≠0/1 ,maka c/d=e/f.
Dalil 12 : jika r/s= u/v dan x/y=w/z ,maka (r/s).(u/v)=(u/v).(w/z)
Bukti : (r/s) .( x/y) = rx/sy dan u/v . w/z= uw/vz (definisi 7), menutut definisi 4 , rx/sy = uw/vz jika dan hanya jika (rx) (vz) = (sy) (uw), karena diketahui r/s= u/v dan x/y=w/z , maka menurut definisi 4 rv = su dan xz = yw, sehingga (rx) (vz) = (sy) (uw); dalam hal ini r, v, x, s, u, y, dan w adalah bilangan-bilangan bulat.
Pengurangan dan Pembagian Bilangan Rasional
Sebelum kita mulai pembicaraan tentang operasi pengurangan, perlu kita ingat kembali bahwa dalam sistim bilangan rasional unsur identitas pnjumlahan adalah 0/a (=0),”invers penjumlahan ” x/y “adalah -” (x/y) “sedemikian hingga ” x/y + -(x/y) = 0/y ; – (x/y) = (-x)/y;
konsep ini akan digunakan dalam pembicaraan operasi pengurangan bilangan rasional.
Operasi pengurangan akan di definisikan sebagai invers operasi penjumlahan, seperti halnya definisi pengurangan untuk bilangan cacah dan bilangan bulat.
Definisi 8 : Pengurangan bilangan rasional.
Jika a/d “dan ” b/c “menyatakan bilangan-bilangan rasional,maka ” (a/d) – (b/e) = (c/f) “adalah bilangan-bilangan rasional jika dan hanya jika ” (a/d) – (b/e) + (c/f) .
Contoh :
7/3 – 5/3 = 2/3 sebab 7/3 = 5/3 + 2/3 = 21/9 = 7/3
(-4)/5-2/3=(-22)/15 “sebab ” (-4)/5= 2/3 + (-22)/15 = (-36)/45 = (-4)/5
5/4 – (-1)/6 = 17/12 “sebab ” 5/4 = (-1)/6 + 17/12 = 90/72 = 5/4
Perhatikan :
(-7)/9 – 4/9 = (-11)/9 “sebab ” (-7)/9 = 4/9 + (-11)/9 = (-11)/9 + 4/9
(-7)/9 + (-4)/9 = ((-11)/9 + 4/9) + (-4)/9 = (-11)/9 + (4/9 + (-4)/9) = (-11)/9
“Jadi∶ ” (-7)/9 – 4/9 = (-7)/9 + (-4)/9
Secara umum, jika a/b – c/d = e/f,”maka∶”
a/b = e/f + c/d “dan ” a/b + (-c)/d =(e/f + c/d) + (-c)/d = e/f + (c/d + (-c)/d) = e/f
Jadi : a/b – c/d = a/b + (-c)/d
Dalil 13 : Jika a/b “dan ” c/d “adalah bilangan-bilangan rasional,maka ”
a/b – c/d = a/b + (-c)/d
Dalil 14 : Jika a/b “dan ” c/d “adalah bilangan-bilangan rasional,maka”
-(a/b + c/d) = (-a)/b + (-c)/d
– ((-a)/b) = a/b
Contoh :
-((-2)/3)= 2/3 ; -((-5)/6)= 5/6
-(2/3 + 2/3)= (-3)/4 + (-2)/3 ; -(6/7 + 5/6)= (-6)/7 + (-5)/6
– ((-3)/4+ 4/7)+ -(3/4)+ -((-4)/7) = 3/4 + (-4)/7
Definisi 9 : Jika x dan y adalah bilangan-bilangan rasional dengan y ≠0, maka x dibagi y (ditunjukkan dengan x : y ) adalah sama dengan bilangan rasional z jika dan hanya jika x = y z.
Definisi di atas sesuai definisi pembagian seperti yang terdapat pada bilangan cacah dan bulat. Pembagian merupakan invers dari perkalian.
Contoh :
2/3 ∶ 4/5 = 5/6 sebab 4/5 ∙ 5/6 = 20/30 = 2/3
(-5)/4 ∶ (-3)/2 = 5/6 sebab (-3)/2 ∙ 5/6 = (-15)/12 = (-5)/4
Perhatikan : 5/8 ∶ (6/3) = 15/48 “sebab ” 5/3 = 6/8 ∙ 15/48 = 15/48 ∙ 6/3
5/8 ∙ 3/6 = (15/48 ∙ 6/3) ∙ 3/6 = 15/48
Jadi : 5/8 ∶ 6/3 = 5/8 ∙ 3/6
Bagaimana dengan :
p/q : r/s “dan ” p/q ∙ s/r
Dalil 15 : Jika( p)/q “dan ” r/s adalah bilangan-bilangan rasional dan r/s ≠0,”maka ” p/q ∶ r/s = (p/q) (s/r),”dimana ” s/r “adalah invers perkalian dari ” r/s .
Bukti : Misalkan : p/q : r/s = e/f,”berarti ” p/q = r/s ∙ e/f = e/f ∙ r/s
p/q . s/r = (e/f r/s) . s/r = e/f ∙ (r/s ∙ s/r) = e/f.
Jadi : p/q ∶ r/s = p/q ∙ s/r
Contoh :
2/3 ∶ 4/5 = 2/3 ∙ 5/4 = 10/12 ∙ 5/6
(-4)/7 ∶ 3/8 = (-4)/7 ∙ 8/3 = (-32)/21
(-1)/4 ∶ (-1)/3 = (-1)/4 . 3/(-1) = (-3)/(-4) = 3/4
Perlu di ingat bahwa setiap bilangan rasional kecuali 0 mempunyai invers perkalian, sehingga pembagian di dalam sistem bilangan rasional adalah selalu mungkin, kecuali bila pembagiannya adalah 0. Invers perkalian di sebut juga kebalikan.
Ini berarti bahwa sebarang persamaan atau pertidaksamaan linier dengan koifesien rasional akan mempunyai penyalesaian.
Contoh : Selesaikan 3x/2 – 1/2= -5,x “bilangan rasional”
Jawab : 3x/2- 1/2 = -5
Himpunan penyelesaiannya adalah [-3]
Urutan Bilangan Rasional
Dalam bagian terdahulu, kita definisikan relasi kurang dari (<)pada bilangan cacah dan bulat, dan disebut dengan relasi urutan. Sekarang timbul pertanyaan “dapatkah kita definisikan relasi urutan bilangan rasional yang mana konsisten dengan definisi urutan bilangan bulat dan cacah ?”
Definisi 10 : Jika p/q dan r/s adalah bilangan-bilangan rasional yang dinyatakan dengan penyebut-penyebut yang positif, maka p/q kurang dari r/s (p/q<r/s) jika dan hanya jika ps < qr. Jika p/qp/(q ) (r/(s ) ” lebih dari ” p/q).
Contoh :
2/7<5/8 sebab 2.8 < 7.5.
(-4)/5<1/4 sebab -4.4 < 5.1.
(-7)/3<(-2)/5 sebab -7.5 < 3-2
Dalil 16 : Jika p/(q ) dan r/s adalah sebarang dua bilangan rasional dengan penyebut-penyebut positif, maka tentu terdapat salah satu diantara hubungan-hubungan berikut :
p/q = r/s b) p/qr/s
Bukti : p/q = r/s, p/qr/s semuanya benar dan hanya jika ps = qr, ps qr.
Karena ps dan gr adalah bilangan-bilangan bulat, berdasarkan sifat trikotomi tentu terdapat salah satu hubungan di antara ps = qr, ps qr.
Jadi jelaskan bahwa terdapat satu hubungan diantara hubungan-hubungan p/q=r/s , p/qr/s.
Dalil 17 : (Buktikan).
Bila p/q , r/s , t/v adalah bilangan-bilangan rasional sehingga p/q<r/s , maka :
p/q + t/v r/s . t/v “jika ” t/v <0
b) p/q . t/v 0
Contoh :
2/3 + 1/8<7/8 + 1/4 " atau " 11/12<36/32
2/3 ∙ 1/4<7/8 ∙ 1/4 " atau " 2/127/8 . (-1)/4 ” atau ” (-2)/12>(-7)/32
Dalil 18 : Sifat transitif urutan bilangan rasional.
Jika a/b<c/d dan c/d 0,d > 0,f >0″ ),”maka ” a/b0.”d > 0,f > 0″ ……………………………………………… (diketahui)
a/b<c/d "dan " c/d<e/f ………………………………………………… (diketahui)
ad <"bc dan cf < de " ………………………………………….. (definisi 10)
adf <"bcf dan bcf < bde" …………………….. ………. (dalil 4 pada sistem bilangan bulat)
adf < bde ……………………………………………………… (sifat transitif bilangan bulat)
(af) d < (be) d ……………………………………………….. (sifat asosiatif dan komutatif perkalian bilangan bulat)
af < be ……………………… …………………. (dalil 17 b, di kalikan 1/d)
a/b < e/f ………………………………………………………….. (definisi 10)
Salah satu sifat yang menarik dari bilangan rasional adalah sifat dense :
Jika a dan b adalah beberapa bilangan rasional yang tidak sama, maka selalu ada bilangan rasional yang lain di antara a dan b.
Jika a dan b bilangan-bilangan rasional dengan a < b , maka selalu ada bilangan rasional c sehingga a < c < b.
Kenyataan ini sesungguhnya menunjukkan bahwa terdapat tak terhingga banyaknya bilangan rasional di antara dua bilangan rasional yang di ketahui pada garis bilangan; sehingga tidak ada pengertian “bilangan rasional berikutnya” (seperti : jika di ketahui bilangan bulat positif 1, maka bilangan bulat posituf berikutnya adalah 2).
Misalnya di ketahui a/b 0 dan d > 0″ ), maka ad < bc dan (ad) d < (bc) d.
(ad) d + (bc) d < (bc) d + (bc) d
(ad + bc) d < 2 bcd
(ad + bc) d < (2 bd) c
(ad + bc)/(2 bd) < c/d
Dengan jalan yang sama, dapat di tunjukkan :
a/b < (ad +bc)/(2 bd)
Ini berarti di antara dua bilangan rasional, ada bilangan rasional ketiga; kemudian, di antara bilangan rasional yang pertama dan ketiga ada bilangan rasional keempat, dan seterusnya. Proses itu dapat diteruskan tak terbatas, yang mana menunjukkan bahwa di antara dua bilangan rasional terdapat tak terhingga banyaknya bilangan-bilangan rasional.
No comments:
Post a Comment